[线性代数]矩阵的初等变换

初等变换的定义

1.对调任意两行row(列column)，记作r_ij c_ij

2.用非0常数a乘以矩阵某行(列)的所有元素，记作r_i(a) c_i(a)

3.将矩阵中第i行(列)的k倍加到j行的对应元素上，记作r_ij(k) c_ij(k)

若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B，就称A与B等价，记作A~B

矩阵等价的性质

(1)反身性 A~A (自己和自己等价)

(2)对称性 若 A~B 则 B~A

(3)传递性 若 A~B B~C 则 A~C

数学上把具有上述三种性质的关系称为等价

矩阵等价的结论

1.任意矩阵与其标准形矩阵等价

2.A与B等价的充要条件为存在一系列初等矩阵P₁、P₂…以及Q₁、Q₂ …使得B = P₁P₂…AQ₁Q₂ …

3.A与B等价的充要条件是存在P与Q，使PAQ=B

4.若A~B，则A与B标准形相同

5.A与B等价的充要条件是矩阵的秩相等

6.若A~B，则|A|=k| B | (k≠0)

7.若A、B为同阶方阵，且A~B，则A与B同时可逆/不可逆(|A|与|B|同时为0，或不为0)

8.A为n阶方阵，则A可逆的充要条件为A~E

9.A为方阵，A可逆的充要条件是A可表示为有限个初等矩阵的乘积

标准形矩阵的特点

元素仅有1和0组成，且左上角为一个单位矩阵（未必是一个方阵）

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初等矩阵的定义

对单位矩阵进行 一次 初等变换后得到的矩阵

初等矩阵的性质

1.对矩阵A进行一次初等行(列)变换得到的B，等于一个相同的初等矩阵左（右）乘A

这个性质能将变换改造成运算！

2.任意矩阵，必定可以经过有限次初等变换，化成标准形矩阵

(1)一般来说，初等行变换和列变换都需要

(2) 1 的个数等于矩阵的秩

3.A为方阵，A可逆的充要条件是A可表示为有限个初等矩阵的乘积

4.初等矩阵的行列式都不为0(均可逆)

5.初等矩阵的转置矩阵和逆矩阵仍为同种类型初等矩阵