线性方程组的初等变换(高斯消元法解方程组)[对应增广系数矩阵]
1.交换两方程位置 [交换两行]
2.在方程两端乘以数k≠0 [某行乘k]
3.某方程两端k倍加到另一方程上 [某行的k倍加到另一行上]
解方程组，对增广矩阵和系数矩阵 只做初等行变换
以无解情况为例:
明显的，增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩
当增广矩阵的秩大于系数矩阵时，化为阶梯形时，会出现如上述例子最后一行的情形，因此无解
总的来说，对于任意线性方程组，解的判定方法如下：
若系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等则无解
若系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等则有解
(1) 若秩和未知数个数相同，唯一解
(2) 若秩小于未知数个数，无穷多个解
特殊情况:齐次线性方程组解的判定(一定有系数矩阵和增广矩阵的秩相同，至少有零解)
Ax=0 有非零解 等价于 列向量组 α1，α2，…，αn 线性相关
等价于 列向量组的秩小于未知数个数
等价于 r(A) < n
Ax=0 仅有零解 等价于 列向量组 α1，α2，…，αn 线性无关
等价于 列向量组的秩等于未知数个数
等价于 r(A) = n
推论
1.若对齐次线性方程组Ax=0，若方程个数小于未知数个数，则Ax=0必有非零解 (例如，两个方程三个未知数)
2.Ax=0有非零解 等价于 |A|，Ax=0仅有零解 等价于 |A| ≠ 0
齐次线性方程组解的性质
1.若ξ1，ξ2 是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则ξ1+ξ2也是Ax=0的解
2.若ξ是Ax=0的解，则对任意常数k(包括0)，kξ也是Ax=0的解
3.若ξ1，ξ2…ξs是齐次线性方程组Ax=0的解，则它们的线性组合也是Ax=0的解
非齐次线性方程组Ax=b与其导出组Ax=0的解有以下性质：
1.设ξ1，ξ2是Ax=b的任意两个解，则ξ1-ξ2为对应导出组Ax=0的解
2.设η是Ax=b的解，ξ是Ax=0的任一解，则ξ+η是Ax=b的解
3.若η*是Ax=b的一个解，则Ax=b的任一解可以表示为ξ+η*（其中ξ是导出组Ax=0的解）