[线性代数]逆矩阵

·有可逆性的矩阵一定是方阵，且AA^-1 = I(I为单位阵)

·非方阵不能讨论可逆性，即既不是可逆也不是不可逆。

·在使用A^-1之前一定要确保可逆

计算方法

1.伴随矩阵法(不常用，计算量大)

A^-1 = A^*/|A|

2.初等行变换法

原理：根据初等行变换可以等于用初等矩阵左乘来代替从而证明

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性质

1.若一个矩阵可逆则其逆矩阵唯一

2.若某个矩阵可逆，则其可交换(由伴随矩阵法求逆矩阵，|A|≠0时才能有逆矩阵) 推论：当A与B为n阶方阵时，只要满足AB=I，即可推出A可逆与可交换

3.(A^-1)^-1 = A

4.(aA)^-1=(1/a)A^-1

5.若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1 = B^-1A^-1

可以推广到(A₁A₂…A_k)^-1 =A_k^-1 A_k-1^-1 …A₁^-1

6.转置与逆矩阵操作可以交换顺序

注意事项

可逆矩阵虽然很像倒数，但是绝对不能把任何矩阵放在分母位置